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Hao的博客

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无向图的割点  

2009-07-10 16:25:21|  分类: Algorithm discov |  标签: |举报 |字号 订阅

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      如果将连通图G中的某个点及和这个点相关的边删除后,将使原图不再连通,那么这个点就称为图G的割点或是接合点。如果一个无向图没有割点,则这样的图被称为双连通图。关于图的割点,有如下两条性质:

      1.如果深度优先搜索树的根节点至少有两个以上的子节点,则根节点是割点。显然去掉根节点后将得到以子节点为根结点的森林。

      2.在深度优先搜索树中,v的每一个子孙节点不能通过后向边到达v的祖先节点,则节点v是割点。也就是说从v的子节点开始没有一条边能够回到v的祖先节点,那么当去掉v时将会使得v的子孙节点与v的祖先节点之间失去联系。必定会使得图不再连通。

     可以通过对图的深度优先搜索,加上上面的两条性质来寻找图中的割点。在对图进行深度优先搜索时,记录下遍历的顺序preOrder,则preOrder从小到大就代表了从根节点一直到叶子节点。在遍历的时候同时得出每一个节点通过自己或是子孙节点的后向边所能达到的最原始的祖先,也就是preOrder最小的节点,记录在backOrder中。那么如果一个节点的backOrder>=父节点的preOrder,说明该节点的子孙节点不存在一条后向边到达父节点的祖先节点,则根据第二条性质,该节点必是割点。

     由于backOrder记录的是节点所能返回到的最原始的祖先节点,初始化backOrder[v]=preOrder[v],及顶点v所能返回的最原始祖先就是自己。在对v进行深搜时,如果与v相邻的下一个节点w没被访问过,说明(v,w)是生成树上的边,那么backOrder[v]就应该是v和w中能返回到最原始祖先的点的backOrder,即backOrder[v]=min(backOrder[v],backOrder[w]);如果w已经被访问过,说明w就是v的祖先,那么backOrder[v]就应该是v之前计算得到的所能返回的祖先节点与w之间最小的一个,即backOrder[v]=min(backOrder[v],preOrder[w])。下面是实现的代码:

bool visit[MAX];        //是否被访问过
int preOrder[MAX];    //深搜的顺序序号
int backOrder[MAX];  //记录每个节点所能返回的最原始祖先
int ArticalPoint(Node *g,int n){
    int i;
    int index=0,count=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(!visit[i])DFS_Artical(g,i,i,index,count,preOrder,backOrder);
    }
    return count;
}

//参数v表示从v开始深搜;root记录树的根节点,用于判断第一条性质;count记录割点的个数

void DFS_Artical(Node *g,int v,int root,int &index,int &count,int preNum[],int backNum[]){
    Node *p;
    int n=0;
    bool critical=false;
    visit[v]=true;
    preNum[v]=++index;backNum[v]=preNum[v];  //初始化
    for(p=g[v].next;p;p=p->next){
        if(!visit[p->ver]){   //如果没访问过,则(v,p->ver)这条边一定是生成树的边
            DFS_Artical(g,p->ver,root,index,count,preNum,backNum);
            if(v==root){    //根节点的子节点个数
                n++;
                if(n==2)critical=true;
            }
            else{      //如果是生成树的边,则有backOrder[v]=min(backOrder[v],backOrder[p->ver])
                backNum[v]=backNum[v]<backNum[p->ver]?backNum[v]:backNum[p->ver]; 
                if(backNum[p->ver]>=preNum[v])critical=true;   //根据第二条性质判断
            }
        }
        else{   //如果是后向边,则有backOrder[v]=min(backOrder[v],preOrder[p->ver])
            backNum[v]=backNum[v]<preNum[p->ver]?backNum[v]:preNum[p->ver];
        }
    }
    if(critical)count++;
}

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